2011 IMO Shortlist G6

Let $A B C$ be a triangle with $A B=A C$, and let $D$ be the midpoint of $A C$. The angle bisector of $\angle B A C$ intersects the circle through $D, B$, and $C$ in a point $E$ inside the triangle $A B C$. The line $B D$ intersects the circle through $A, E$, and $B$ in two points $B$ and $F$. The lines $A F$ and $B E$ meet at a point $I$, and the lines $C I$ and $B D$ meet at a point $K$. Show that $I$ is the incenter of triangle $K A B$.

设$A B C$ 为三角形，$A B=A C$，$D$ 为$A C$ 的中点。 $\angle B A C$ 的角平分线通过 $D、B$ 和 $C$ 与圆相交于三角形 $A B C$ 内的点 $E$。线 $B D$ 通过 $A、E$ 和 $B$ 与圆相交于两点 $B$ 和 $F$。线$A F$ 和$B E$ 在点$I$ 相交，线$C I$ 和$B D$ 在点$K$ 相交。证明 $I$ 是三角形 $K A B$ 的内心。