2011 IMO Shortlist N1

For any integer $d>0$, let $f(d)$ be the smallest positive integer that has exactly $d$ positive divisors (so for example we have $f(1)=1, f(5)=16$, and $f(6)=12$ ). Prove that for every integer $k \geq 0$ the number $f\left(2^{k}\right)$ divides $f\left(2^{k+1}\right)$.

对于任何整数 $d>0$，令 $f(d)$ 为恰好具有 $d$ 正因数的最小正整数(例如，我们有 $f(1)=1、f(5)=16$ 和 $f(6)=12$ )。证明对于每个整数 $k \geq 0$，数字 $f\left(2^{k}\right)$ 整除 $f\left(2^{k+1}\right)$。