2012 IMO Shortlist A5

Find all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ that satisfy the conditions $$f(1+x y)-f(x+y)=f(x) f(y) \quad \text { for all } x, y \in \mathbb{R}$$ and $f(-1) \neq 0$.

查找满足条件 $$f(1+x y)-f(x+y)=f(x) f(y) \quad \text { 对于所有 } x, y \in \mathbb{R}$$ 和 $f(-1) \neq 0$ 的所有函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。