2012 IMO Shortlist G8

Let $A B C$ be a triangle with circumcircle $\omega$ and $\ell$ a line without common points with $\omega$. Denote by $P$ the foot of the perpendicular from the center of $\omega$ to $\ell$. The side-lines $B C, C A, A B$ intersect $\ell$ at the points $X, Y, Z$ different from $P$. Prove that the circumcircles of the triangles $A X P, B Y P$ and $C Z P$ have a common point different from $P$ or are mutually tangent at $P$.

设$A B C$ 为外接圆$\omega$ 的三角形，$\ell$ 为与$\omega$ 没有公共点的直线。 $P$ 表示从 $\omega$ 中心到 $\ell$ 的垂线脚。边线 $B C、C A、A B$ 与 $\ell$ 相交于与 $P$ 不同的点 $X、Y、Z$。证明三角形$A X P、B Y P$ 和$C Z P$ 的外接圆有与$P$ 不同的公共点或在$P$ 处相互相切。