2012 IMO Shortlist N5

For a nonnegative integer $n$ define $\operatorname{rad}(n)=1$ if $n=0$ or $n=1$, and $\operatorname{rad}(n)=p_{1} p_{2} \cdots p_{k}$ where $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}$ are all prime factors of $n$. Find all polynomials $f(x)$ with nonnegative integer coefficients such that $\operatorname{rad}(f(n))$ divides $\operatorname{rad}\left(f\left(n^{r a d(n)}\right)\right)$ for every nonnegative integer $n$.

对于非负整数 $n$，如果 $n=0$ 或 $n=1$，则定义 $\operatorname{rad}(n)=1$，并且 $\operatorname{rad}(n)=p_{1} p_{2} \cdots p_{k}$，其中 $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}$ 都是 $n$ 的质因数。查找所有具有非负整数系数的多项式 $f(x)$，使得对于每个非负整数 $n$，$\operatorname{rad}(f(n))$ 能除以 $\operatorname{rad}\left(f\left(n^{r a d(n)}\right)\right)$。