2013 IMO Shortlist A3

Let $\mathbb{Q}_{>0}$ be the set of positive rational numbers. Let $f: \mathbb{Q}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ be a function satisfying the conditions $$f(x) f(y) \geq f(x y) \text { and } f(x+y) \geq f(x)+f(y)$$ for all $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$. Given that $f(a)=a$ for some rational $a>1$, prove that $f(x)=x$ for all $x \in \mathbb{Q}_{>0}$. (Bulgaria)

令 $\mathbb{Q}_{>0}$ 为正有理数集合。令 $f: \mathbb{Q}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ 为满足条件 $$f(x) f(y) \geq f(x y) \text { 和 } f(x+y) \geq f(x)+f(y)$$ 对于所有 $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$ 的函数。给定 $f(a)=a$ 对于某些有理 $a>1$，证明对于所有 $x \in \mathbb{Q}_{>0}$，$f(x)=x$。 (保加利亚)