2013 IMO Shortlist G2

Let $\omega$ be the circumcircle of a triangle $A B C$. Denote by $M$ and $N$ the midpoints of the sides $A B$ and $A C$, respectively, and denote by $T$ the midpoint of the $\operatorname{arc} B C$ of $\omega$ not containing $A$. The circumcircles of the triangles $A M T$ and $A N T$ intersect the perpendicular bisectors of $A C$ and $A B$ at points $X$ and $Y$, respectively; assume that $X$ and $Y$ lie inside the triangle $A B C$. The lines $M N$ and $X Y$ intersect at $K$. Prove that $K A=K T$. (Iran)

令 $\omega$ 为三角形 $A B C$ 的外接圆。 $M$ 和 $N$ 分别表示边 $A B$ 和 $A C$ 的中点，$T$ 表示不包含 $A$ 的 $\omega$ 的 $\operatorname{arc} B C$ 的中点。三角形$A M T$和$A N T$的外接圆分别与$A C$和$A B$的垂直平分线相交于点$X$和$Y$；假设 $X$ 和 $Y$ 位于三角形 $A B C$ 内。线 $M N$ 和 $X Y$ 相交于 $K$。证明 $K A=K T$。 (伊朗)