2014 IMO Shortlist N7

Let $c \geq 1$ be an integer. Define a sequence of positive integers by $a_{1}=c$ and $$a_{n+1}=a_{n}^{3}-4 c \cdot a_{n}^{2}+5 c^{2} \cdot a_{n}+c$$ for all $n \geq 1$. Prove that for each integer $n \geq 2$ there exists a prime number $p$ dividing $a_{n}$ but none of the numbers $a_{1}, \ldots, a_{n-1}$. (Austria)

设 $c \geq 1$ 为整数。对于所有 $n \geq 1$，通过 $a_{1}=c$ 和 $$a_{n+1}=a_{n}^{3}-4 c \cdot a_{n}^{2}+5 c^{2} \cdot a_{n}+c$$ 定义正整数序列。证明对于每个整数 $n \geq 2$ 都存在一个质数 $p$ 除以 $a_{n}$，但不存在数字 $a_{1}、\ldots、a_{n-1}$。 (奥地利)