2014 IMO Shortlist N8

For every real number $x$, let $\|x\|$ denote the distance between $x$ and the nearest integer. Prove that for every pair $(a, b)$ of positive integers there exist an odd prime $p$ and a positive integer $k$ satisfying $$\left\|\frac{a}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{b}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{a+b}{p^{k}}\right\|=1 .$$ (Hungary)

对于每个实数 $x$，令 $\|x\|$ 表示 $x$ 与最接近的整数之间的距离。证明对于每对 $(a, b)$ 正整数，存在一个奇素数 $p$ 和一个正整数 $k$ 满足 $$\left\|\frac{a}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{b}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{a+b}{p^{k}}\right\|=1 。$$(匈牙利)