2015 IMO Shortlist C2

Let $\mathcal{V}$ be a finite set of points in the plane. We say that $\mathcal{V}$ is balanced if for any two distinct points $A, B \in \mathcal{V}$, there exists a point $C \in \mathcal{V}$ such that $A C=B C$. We say that $\mathcal{V}$ is center-free if for any distinct points $A, B, C \in \mathcal{V}$, there does not exist a point $P \in \mathcal{V}$ such that $P A=P B=P C$. (a) Show that for all $n \geq 3$, there exists a balanced set consisting of $n$ points. (b) For which $n \geq 3$ does there exist a balanced, center-free set consisting of $n$ points? (Netherlands)

令 $\mathcal{V}$ 为平面上的有限点集。如果对于任何两个不同的点 $A, B \in \mathcal{V}$，存在一个点 $C \in \mathcal{V}$ 使得 $A C=B C$，我们说 $\mathcal{V}$ 是平衡的。如果对于任何不同的点 $A, B, C \in \mathcal{V}$，不存在点 $P \in \mathcal{V}$ 使得 $P A=P B=P C$，我们说 $\mathcal{V}$ 是无中心的。 (a) 证明对于所有 $n \geq 3$，存在一个由 $n$ 点组成的平衡集。 (b) 对于哪个 $n \geq 3$ 存在一个由 $n$ 点组成的平衡的、无中心的集合？ (荷兰)