题面 IMO Shortlist · 2015 · P12
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Let be a nonempty set of positive integers. We say that a positive integer is clean if it has a unique representation as a sum of an odd number of distinct elements from . Prove that there exist infinitely many positive integers that are not clean.
令 为非空正整数集。如果正整数 具有唯一的表示形式，即 中奇数个不同元素的总和，我们就说它是干净的。证明存在无穷多个不干净的正整数。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2015 年 IMO Shortlist C6 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？