2015 IMO Shortlist G2

Let $A B C$ be a triangle inscribed into a circle $\Omega$ with center $O$. A circle $\Gamma$ with center $A$ meets the side $B C$ at points $D$ and $E$ such that $D$ lies between $B$ and $E$. Moreover, let $F$ and $G$ be the common points of $\Gamma$ and $\Omega$. We assume that $F$ lies on the arc $A B$ of $\Omega$ not containing $C$, and $G$ lies on the arc $A C$ of $\Omega$ not containing $B$. The circumcircles of the triangles $B D F$ and $C E G$ meet the sides $A B$ and $A C$ again at $K$ and $L$, respectively. Suppose that the lines $F K$ and $G L$ are distinct and intersect at $X$. Prove that the points $A, X$, and $O$ are collinear. (Greece)

设$A B C$ 是一个内切于圆$\Omega$ 且以$O$ 为圆心的三角形。以 $A$ 为中心的圆 $\Gamma$ 在点 $D$ 和 $E$ 处与边 $B C$ 相交，使得 $D$ 位于 $B$ 和 $E$ 之间。此外，令$F$和$G$为$\Gamma$和$\Omega$的公共点。我们假设$F$位于不包含$C$的$\Omega$的弧$A B$上，并且$G$位于不包含$B$的$\Omega$的弧$A C$上。三角形 $B D F$ 和 $C E G$ 的外接圆分别在 $K$ 和 $L$ 处再次与边 $A B$ 和 $A C$ 相交。假设线 $F K$ 和 $G L$ 不同并且相交于 $X$。证明点 $A、X$ 和 $O$ 共线。 (希腊)