2015 IMO Shortlist G3

Let $A B C$ be a triangle with $\angle C=90^{\circ}$, and let $H$ be the foot of the altitude from $C$. A point $D$ is chosen inside the triangle $C B H$ so that $C H$ bisects $A D$. Let $P$ be the intersection point of the lines $B D$ and $C H$. Let $\omega$ be the semicircle with diameter $B D$ that meets the segment $C B$ at an interior point. A line through $P$ is tangent to $\omega$ at $Q$. Prove that the lines $C Q$ and $A D$ meet on $\omega$. (Georgia)

令$A B C$ 为$\angle C=90^{\circ}$ 的三角形，并令$H$ 为从$C$ 开始的高度的脚。在三角形 $C B H$ 内选择一个点 $D$，以便 $C H$ 平分 $A D$。令 $P$ 为线 $B D$ 和 $C H$ 的交点。令 $\omega$ 为直径为 $B D$ 且在内点与线段 $C B$ 相交的半圆。通过 $P$ 的直线与 $\omega$ 在 $Q$ 处相切。证明$C Q$ 线和$A D$ 线在$\omega$ 上相交。 (乔治亚州)