2015 IMO Shortlist G5

Let $A B C$ be a triangle with $C A \neq C B$. Let $D, F$, and $G$ be the midpoints of the sides $A B, A C$, and $B C$, respectively. A circle $\Gamma$ passing through $C$ and tangent to $A B$ at $D$ meets the segments $A F$ and $B G$ at $H$ and $I$, respectively. The points $H^{\prime}$ and $I^{\prime}$ are symmetric to $H$ and $I$ about $F$ and $G$, respectively. The line $H^{\prime} I^{\prime}$ meets $C D$ and $F G$ at $Q$ and $M$, respectively. The line $C M$ meets $\Gamma$ again at $P$. Prove that $C Q=Q P$. (El Salvador)

设 $A B C$ 是一个三角形，$C A \neq C B$。令 $D、F$ 和 $G$ 分别为边 $A B、A C$ 和 $B C$ 的中点。圆 $\Gamma$ 穿过 $C$ 并在 $D$ 处与 $A B$ 相切，分别在 $H$ 和 $I$ 处与线段 $A F$ 和 $B G$ 相交。点$H^{\prime}$和$I^{\prime}$分别关于$F$和$G$对称于$H$和$I$。线$H^{\prime} I^{\prime}$ 分别在$Q$ 和$M$ 处与$C D$ 和$F G$ 相交。 $C M$ 线在 $P$ 处再次与 $\Gamma$ 相遇。证明$C Q=Q P$。 (萨尔瓦多)