2015 IMO Shortlist N6

Let $\mathbb{Z}_{>0}$ denote the set of positive integers. Consider a function $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$. For any $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$ we write $f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots))$. Suppose that $f$ has the following two properties: (i) If $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$, then $\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}$; (ii) The set $\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\}$ is finite. Prove that the sequence $f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots$ is periodic. (Singapore)

设 $\mathbb{Z}_{>0}$ 表示正整数集合。考虑一个函数 $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$。对于任何$m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$，我们写成$f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots))$。假设 $f$ 具有以下两个性质： (i) 如果 $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$，则 $\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}$； (ii) 集合 $\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\}$ 是有限的。证明序列 $f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots$ 是周期性的。 (新加坡)