2016 IMO Shortlist G6

Let $A B C D$ be a convex quadrilateral with $\angle A B C=\angle A D C<90^{\circ}$. The internal angle bisectors of $\angle A B C$ and $\angle A D C$ meet $A C$ at $E$ and $F$ respectively, and meet each other at point $P$. Let $M$ be the midpoint of $A C$ and let $\omega$ be the circumcircle of triangle $B P D$. Segments $B M$ and $D M$ intersect $\omega$ again at $X$ and $Y$ respectively. Denote by $Q$ the intersection point of lines $X E$ and $Y F$. Prove that $P Q \perp A C$.

令 $A B C D$ 为凸四边形，且 $\angle A B C=\angle A D C<90^{\circ}$。 $\angle A B C$ 和 $\angle A D C$ 的内角平分线分别在 $E$ 和 $F$ 处与 $A C$ 相交，并在 $P$ 处相交。设$M$为$A C$的中点，$\omega$为三角形$B P D$的外接圆。线段$B M$ 和$D M$ 再次分别在$X$ 和$Y$ 处与$\omega$ 相交。用 $Q$ 表示线 $X E$ 和 $Y F$ 的交点。证明$P Q \perp A C$。