2016 IMO Shortlist N5

Let $a$ be a positive integer which is not a square number. Denote by $A$ the set of all positive integers $k$ such that $$k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}}$$ for some integers $x$ and $y$ with $x>\sqrt{a}$. Denote by $B$ the set of all positive integers $k$ such that (1) is satisfied for some integers $x$ and $y$ with $0 \leq x<\sqrt{a}$. Prove that $A=B$.

令 $a$ 为一个非平方数的正整数。用 $A$ 表示所有正整数 $k$ 的集合，使得 $$k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}}$$ 对于某些整数 $x$ 和 $y$ 以及 $x>\sqrt{a}$。用 $B$ 表示所有正整数 $k$ 的集合，使得对于某些整数 $x$ 和 $y$ 满足 (1)，其中 $0 \leq x<\sqrt{a}$。证明$A=B$。