2017 IMO Shortlist C7

For any finite sets $X$ and $Y$ of positive integers, denote by $f_{X}(k)$ the $k^{\text {th }}$ smallest positive integer not in $X$, and let $$X * Y=X \cup\left\{f_{X}(y): y \in Y\right\}$$ Let $A$ be a set of $a>0$ positive integers, and let $B$ be a set of $b>0$ positive integers. Prove that if $A * B=B * A$, then $$\underbrace{A *(A * \cdots *(A *(A * A)) \ldots)}_{A \text { appears } b \text { times }}=\underbrace{B *(B * \cdots *(B *(B * B)) \ldots)}_{B \text { appears } a \text { times }} .$$

对于正整数的任何有限集合 $X$ 和 $Y$，用 $f_{X}(k)$ 表示 $k^{\text {th }}$ 不在 $X$ 中的最小正整数，并令 $$X * Y=X \cup\left\{f_{X}(y): y \in Y\right\}$$ 令 $A$ 为 $a>0$ 正整数的集合，并令 $B$ 为$b>0$ 正整数。证明如果 $A * B=B * A$，则 $$\underbrace{A *(A * \cdots *(A *(A * A)) \ldots)}_{A \text { 出现 } b \text { 次 }}=\underbrace{B *(B * \cdots *(B *(B * B)) \ldots)}_{B \text { 出现 } a \text { 次 }} 。$$