2018 IMO Shortlist A3

Given any set $S$ of positive integers, show that at least one of the following two assertions holds: (1) There exist distinct finite subsets $F$ and $G$ of $S$ such that $\sum_{x \in F} 1 / x=\sum_{x \in G} 1 / x$; (2) There exists a positive rational number $r<1$ such that $\sum_{x \in F} 1 / x \neq r$ for all finite subsets $F$ of $S$. (Luxembourg)

给定任何正整数集合 $S$，证明以下两个断言中至少有一个成立： (1) $S$ 存在不同的有限子集 $F$ 和 $G$，使得 $\sum_{x \in F} 1 / x=\sum_{x \in G} 1 / x$； (2) 对于$S$的所有有限子集$F$，存在一个正有理数$r<1$使得$\sum_{x \in F} 1 / x \neq r$。 (卢森堡)