2019 IMO Shortlist C9

For any two different real numbers $x$ and $y$, we define $D(x, y)$ to be the unique integer $d$ satisfying $2^{d} \leq|x-y|<2^{d+1}$. Given a set of reals $\mathcal{F}$, and an element $x \in \mathcal{F}$, we say that the scales of $x$ in $\mathcal{F}$ are the values of $D(x, y)$ for $y \in \mathcal{F}$ with $x \neq y$. Let $k$ be a given positive integer. Suppose that each member $x$ of $\mathcal{F}$ has at most $k$ different scales in $\mathcal{F}$ (note that these scales may depend on $x$ ). What is the maximum possible size of $\mathcal{F}$ ? (Italy)

对于任何两个不同的实数 $x$ 和 $y$，我们将 $D(x, y)$ 定义为满足 $2^{d} \leq|x-y|<2^{d+1}$ 的唯一整数 $d$。给定一组实数 $\mathcal{F}$ 和一个元素 $x \in \mathcal{F}$，我们说 $\mathcal{F}$ 中 $x$ 的标度是 $y \in \mathcal{F}$ 与 $x \neq y$ 的 $D(x, y)$ 值。令 $k$ 为给定的正整数。假设 $\mathcal{F}$ 的每个成员 $x$ 在 $\mathcal{F}$ 中最多有 $k$ 个不同的尺度(请注意，这些尺度可能取决于 $x$ )。 $\mathcal{F}$ 的最大可能大小是多少？ (意大利)