2020 IMO Shortlist A1

Version 1. Let $n$ be a positive integer, and set $N=2^{n}$. Determine the smallest real number $a_{n}$ such that, for all real $x$, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leq a_{n}(x-1)^{2}+x$$ Version 2. For every positive integer $N$, determine the smallest real number $b_{N}$ such that, for all real $x$, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leq b_{N}(x-1)^{2}+x$$ (Ireland)

版本1.设$n$为正整数，并设置$N=2^{n}$。确定最小实数 $a_{n}$，使得对于所有实数 $x$，$$\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leq a_{n}(x-1)^{2}+x$$ 版本 2。对于每个正整数 $N$，确定最小实数 $b_{N}$，使得对于所有实数 $x$，$$\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leq b_{N}(x-1)^{2}+x$$ (爱尔兰)