2020 IMO Shortlist A6

Determine all functions $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ such that $$f^{a^{2}+b^{2}}(a+b)=a f(a)+b f(b) \quad \text { for every } a, b \in \mathbb{Z}$$ Here, $f^{n}$ denotes the $n^{\text {th }}$ iteration of $f$, i.e., $f^{0}(x)=x$ and $f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right)$ for all $n \geq 0$.

确定所有函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 使得 $$f^{a^{2}+b^{2}}(a+b)=a f(a)+b f(b) \quad \text { for every } a, b \in \mathbb{Z}$$ 这里，$f^{n}$ 表示 $f$ 的 $n^{\text {th }}$ 迭代，即，$f^{0}(x)=x$ 和 $f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right)$ 对于所有 $n \geq 0$。