2020 IMO Shortlist G7

Let $P$ be a point on the circumcircle of an acute-angled triangle $A B C$. Let $D$, $E$, and $F$ be the reflections of $P$ in the midlines of triangle $A B C$ parallel to $B C, C A$, and $A B$, respectively. Denote by $\omega_{A}, \omega_{B}$, and $\omega_{C}$ the circumcircles of triangles $A D P, B E P$, and $C F P$, respectively. Denote by $\omega$ the circumcircle of the triangle formed by the perpendicular bisectors of segments $A D, B E$ and $C F$. Show that $\omega_{A}, \omega_{B}, \omega_{C}$, and $\omega$ have a common point. (Denmark)

令$P$ 为锐角三角形$A B C$ 外接圆上的一点。令 $D$、$E$ 和 $F$ 分别为 $P$ 在平行于 $B C、C A$ 和 $A B$ 的三角形 $A B C$ 中线的反射。分别用 $\omega_{A}、\omega_{B}$ 和 $\omega_{C}$ 表示三角形 $A D P、B E P$ 和 $C F P$ 的外接圆。用 $\omega$ 表示由线段 $A D、B E$ 和 $C F$ 的垂直平分线形成的三角形的外接圆。证明 $\omega_{A}、\omega_{B}、\omega_{C}$ 和 $\omega$ 有共同点。 (丹麦)