2022 IMO Shortlist A3

Let $\mathbb{R}_{>0}$ be the set of positive real numbers. Find all functions $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ such that, for every $x \in \mathbb{R}_{>0}$, there exists a unique $y \in \mathbb{R}_{>0}$ satisfying $$x f(y)+y f(x) \leq 2$$ (Netherlands)

令 $\mathbb{R}_{>0}$ 为正实数集合。查找所有函数 $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$，使得对于每个 $x \in \mathbb{R}_{>0}$，存在唯一的 $y \in \mathbb{R}_{>0}$ 满足 $$x f(y)+y f(x) \leq 2$$ (荷兰)