题面 IMO Shortlist · 2024 · P5
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://www.imo-official.org/problems/IMO2024SL.pdf。
Find all periodic sequences of real numbers such that the following conditions hold for all :
$$
a_{n+2}+a_n^2=a_n+a_{n+1}^2
$$
and
$$
|a_{n+1}-a_n|\le 1.
$$
求所有实数周期数列 ，使得对所有 都有
$$
a_{n+2}+a_n^2=a_n+a_{n+1}^2
$$
以及
$$
|a_{n+1}-a_n|\le 1。
$$
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2024 年 IMO Shortlist A5 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？