2024 IMO Shortlist G8

Let $ABC$ be a triangle with $AB<AC<BC$, and let $D$ be a point in the interior of segment $BC$. Let $E$ be a point on the circumcircle of triangle $ABC$ such that $A$ and $E$ lie on opposite sides of line $BC$ and $\angle BAD=\angle EAC$. Let $I$, $I_B$, $I_C$, $J_B$, and $J_C$ be the incentres of triangles $ABC$, $ABD$, $ADC$, $ABE$, and $AEC$, respectively.

Prove that $I_B$, $I_C$, $J_B$, and $J_C$ are concyclic if and only if $AI$, $I_BJ_C$, and $J_BI_C$ concur.

设 $ABC$ 为三角形，且 $AB<AC<BC$，点 $D$ 在线段 $BC$ 内部。设 $E$ 为三角形 $ABC$ 外接圆上一点，使得 $A$ 与 $E$ 位于直线 $BC$ 的两侧，且 $\angle BAD=\angle EAC$。设 $I,I_B,I_C,J_B,J_C$ 分别为三角形 $ABC,ABD,ADC,ABE,AEC$ 的内心。

证明 $I_B,I_C,J_B,J_C$ 四点共圆，当且仅当直线 $AI$、$I_BJ_C$、$J_BI_C$ 共点。