1986 Putnam B3

Let $\Gamma$ consist of all polynomials in $x$ with integer

coefficients. For $f$ and $g$ in $\Gamma$ and $m$ a positive integer,

let $f \equiv g \pmod{m}$ mean that every coefficient of $f-g$ is an

integral multiple of $m$. Let $n$ and $p$ be positive integers with

$p$ prime. Given that $f,g,h,r$ and $s$ are in $\Gamma$ with

$rf+sg\equiv 1 \pmod{p}$ and $fg \equiv h \pmod{p}$, prove that there

exist $F$ and $G$ in $\Gamma$ with $F \equiv f \pmod{p}$, $G \equiv g

\pmod{p}$, and$FG \equiv h \pmod{p^n}$.

令 $\Gamma$ 由 $x$ 中的所有整数多项式组成

系数。对于 $\Gamma$ 和 $m$ 中的 $f$ 和 $g$ 为正整数，

设 $f \equiv g \pmod{m}$ 表示 $f-g$ 的每个系数都是

$m$ 的整数倍。令 $n$ 和 $p$ 为正整数

$p$素数。假设 $f,g,h,r$ 和 $s$ 位于 $\Gamma$ 中

$rf+sg\equiv 1 \pmod{p}$ 和 $fg \equiv h \pmod{p}$，证明有

$F$ 和 $G$ 存在于 $\Gamma$ 中，其中 $F \equiv f \pmod{p}$, $G \equiv g

\pmod{p}$和$FG \equiv h \pmod{p^n}$。