1986 Putnam B5

Let $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+xyz$. Let $p(x,y,z), q(x,y,z)$, $r(x,y,z)$

be polynomials with real coefficients satisfying

$$

f(p(x,y,z), q(x,y,z), r(x,y,z)) = f(x,y,z).

$$

Prove or disprove the assertion that the sequence $p,q,r$ consists of

some permutation of $\pm x, \pm y, \pm z$, where the number of minus

signs is 0 or 2.

令 $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+xyz$。设 $p(x,y,z), q(x,y,z)$, $r(x,y,z)$

是实数系数满足的多项式

$$

f(p(x,y,z), q(x,y,z), r(x,y,z)) = f(x,y,z)。

$$

证明或反驳序列 $p,q,r$ 组成的断言

$\pm x, \pm y, \pm z$ 的一些排列，其中负数

符号为0或2。