1987 Putnam B6

Let $F$ be the field of $p^2$ elements, where $p$ is an odd

prime. Suppose $S$ is a set of $(p^2-1)/2$ distinct nonzero elements

of $F$ with the property that for each $a\neq 0$ in $F$, exactly one

of $a$ and $-a$ is in $S$. Let $N$ be the number of elements in the

intersection $S \cap \{2a: a \in S\}$. Prove that $N$ is even.

令 $F$ 为 $p^2$ 元素的域，其中 $p$ 为奇数

总理。假设 $S$ 是一组 $(p^2-1)/2$ 不同的非零元素

$F$ 的属性是，对于 $F$ 中的每个 $a\neq 0$，恰好有一个

$a$ 和 $-a$ 位于 $S$ 中。令 $N$ 为数组中的元素数量

交集$S \cap \{2a: a \in S\}$。证明 $N$ 是偶数。