1989 Putnam A5

Let $m$ be a positive integer and let $\mathcal{G}$ be a regular $(2m+1)$-gon

inscribed in the unit circle. Show that there is a positive constant $A$,

independent of $m$, with the following property. For any points $p$ inside

$\cal G$ there are two distinct vertices $v_1$ and $v_2$ of $\cal G$

such that

$$

\left|\,|p-v_1| - |p-v_2|\,\right| < \frac1{m} - \frac{A}{m^3}.

$$

Here $|s-t|$ denotes the distance between the points $s$ and $t$.

设$m$为正整数，设$\mathcal{G}$为正则$(2m+1)$-gon

内接于单位圆。证明存在一个正常数 $A$，

独立于$m$，具有以下性质。对于任何点 $p$ 内

$\cal G$ 有两个不同的顶点 $v_1$ 和 $v_2$ $\cal G$

这样

$$

\left|\,|p-v_1| - |p-v_2|\,\right| < \frac1{m} - \frac{A}{m^3}。

$$

这里$|s-t|$表示点$s$和$t$之间的距离。