1989 Putnam B3

Let $f$ be a function on $[0,\infty)$, differentiable and satisfying
$$f'(x)=-3f(x)+6f(2x)$$
for $x>0$. Assume that $|f(x)|\le e^{-\sqrt{x}}$ for $x\ge 0$ (so that
$f(x)$ tends rapidly to $0$ as $x$ increases).
For $n$ a non-negative integer, define
$$\mu_n=\int_0^\infty x^n f(x)\,dx$$
(sometimes called the $n$th moment of $f$).

a) Express $\mu_n$ in terms of $\mu_0$.

b) Prove that the sequence $\{\mu_n \frac{3^n}{n!}\}$ always converges,

and that the limit is $0$ only if $\mu_0=0$.

令 $f$ 为 $[0,\infty)$ 上的函数，可微且满足

$$

f'(x)=-3f(x)+6f(2x)

$$

对于 $x>0$。假设 $|f(x)|\le e^{-\sqrt{x}}$ 对于 $x\ge 0$ (这样

随着 $x$ 的增加，$f(x)$ 迅速趋于 $0$)。

对于 $n$ 一个非负整数，定义

$$

\mu_n=\int_0^\infty x^n f(x)\,dx

$$

(有时称为 $f$ 的第 $n$ 个时刻)。

a) 用$\mu_0$表示$\mu_n$。

b) 证明序列 $\{\mu_n \frac{3^n}{n!}\}$ 总是收敛的，
仅当 $\mu_0=0$ 时，限制才为 $0$。