题面 Putnam · 1990 · P1
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1990.pdf。
Let
$$
T_0 = 2, T_1 = 3, T_2 = 6,
$$
and for ,
$$
T_n = (n+4)T_{n-1} - 4n T_{n-2} + (4n-8) T_{n-3}.
$$
The first few terms are
$$
2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576.
$$
Find, with proof, a formula for of the form ,
where and are well-known sequences.
让
$$
T_0 = 2，T_1 = 3，T_2 = 6，
$$
对于 ，
$$
T_n = (n+4)T_{n-1} - 4n T_{n-2} + (4n-8) T_{n-3}。
$$
前几个术语是
$$
2、3、6、14、40、152、784、5168、40576。
$$
通过证明，找到 的公式，其形式为 ，
其中 和 是众所周知的序列。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1990 年 Putnam A1 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？