1990 Putnam B3

Let $S$ be a set of $2 \times 2$ integer matrices whose

entries $a_{ij}$ (1) are all squares of integers and, (2) satisfy $a_{ij}

\leq 200$. Show that if$S$has more than 50387 ($= 15^4 - 15^2 - 15 +

2$) elements, then it has two elements that commute.

令 $S$ 为一组 $2 \times 2$ 整数矩阵，其

条目 $a_{ij}$ (1) 都是整数的平方，并且 (2) 满足 $a_{ij}

\leq 200$。显示如果$S$超过 50387 ($= 15^4 - 15^2 - 15 +

2$) 个元素，那么它就有两个可交换的元素。