1992 Putnam B6

Let $\MM$ be a set of real $n \times n$ matrices such that

(i) $I \in \MM$, where $I$ is the $n \times n$ identity matrix;

(ii) if $A \in \MM$ and $B \in \MM$, then either $AB \in \MM$ or
$-AB \in \MM$, but not both;

(iii) if $A \in \MM$ and $B \in \MM$, then either $AB = BA$ or
$AB = -BA$;

(iv) if $A \in \MM$ and $A \neq I$, there is at least one $B \in

\MM$such that$AB = - BA$.

令 $\MM$ 为一组实数 $n \times n$ 矩阵，使得

(i) $I \in \MM$，其中 $I$ 是 $n \times n$ 单位矩阵；

(ii) 如果 $A \in \MM$ 和 $B \in \MM$，则 $AB \in \MM$ 或
$-AB \in \MM$，但不是两者；

(iii) 如果 $A \in \MM$ 和 $B \in \MM$，则 $AB = BA$ 或

$AB = -BA$;

(iv) 如果$A \in \MM$ 和$A \neq I$，则至少有一个$B \in
\MM$使得$AB = - BA$。