1998 Putnam A5

Let $\mathcal F$ be a finite collection of open discs in $\mathbb R^2$

whose union contains a set $E\subseteq \mathbb R^2$. Show that there

is a pairwise disjoint subcollection $D_1,\ldots, D_n$ in $\mathcal F$

such that

$$E\subseteq \cup_{j=1}^n 3D_j.$$

Here, if $D$ is the disc of radius $r$ and center $P$, then $3D$ is the

disc of radius $3r$ and center $P$.

令 $\mathcal F$ 为 $\mathbb R^2$ 中开盘的有限集合

其并集包含集合 $E\subseteq \mathbb R^2$。表明有

是 $\mathcal F$ 中的成对不相交子集合 $D_1,\ldots, D_n$

这样

$$E\subseteq \cup_{j=1}^n 3D_j.$$

这里，如果$D$是半径为$r$、中心为$P$的圆盘，那么$3D$就是

半径为 $3r$ 且中心为 $P$ 的圆盘。