1999 Putnam B6

Let $S$ be a finite set of integers, each greater than 1. Suppose that

for each integer $n$ there is some $s\in S$ such that $\gcd(s,n)=1$ or

$\gcd(s,n)=s$. Show that there exist $s,t\in S$ such that $\gcd(s,t)$

is prime.

令 $S$ 为有限整数集，每个整数都大于 1。假设

对于每个整数 $n$ 都有一些 $s\in S$ 使得 $\gcd(s,n)=1$ 或

$\gcd(s,n)=s$。证明 S$中存在$s,t\ 使得 $\gcd(s,t)$

是素数。