2000 Putnam B5

Let $S_0$ be a finite set of positive integers. We define finite

sets

$S_1,S_2,\ldots$ of positive integers as follows:

the integer $a$ is in $S_{n+1}$ if and only if exactly one of $a-1$ or $a$ is

in

$S_n$.

Show that there exist infinitely many integers $N$ for which

$S_N=S_0\cup\{N+a: a\in S_0\}$.

令 $S_0$ 为有限正整数集。我们定义有限

套

$S_1,S_2,\ldots$ 正整数如下：

整数 $a$ 位于 $S_{n+1}$ 当且仅当 $a-1$ 或 $a$ 恰好之一是

在

$S_n$。

证明存在无限多个整数$N$，其中

$S_N=S_0\cup\{N+a: a\in S_0\}$。