2002 Putnam B6

Let $p$ be a prime number. Prove that the determinant of the matrix

$$

\begin{pmatrix}

x & y & z \\

x^p & y^p & z^p \\

x^{p^2} & y^{p^2} & z^{p^2}

\end{pmatrix}

$$

is congruent modulo $p$ to a product of polynomials of the form

$ax+by+cz$, where $a,b,c$ are integers. (We say two integer

polynomials are congruent modulo $p$ if corresponding coefficients

are congruent modulo $p$.)

令 $p$ 为素数。证明矩阵的行列式

$$

\开始{p矩阵}

x & y & z \\

x^p & y^p & z^p \\

x^{p^2} & y^{p^2} & z^{p^2}

\end{p 矩阵}

$$

模 $p$ 与以下形式的多项式的乘积同余

$ax+by+cz$，其中 $a,b,c$ 是整数。 (我们说两个整数

如果相应的系数，多项式与 $p$ 模同余

模 $p$ 全等。)