2003 Putnam A1

Let $n$ be a fixed positive integer. How many ways are there to write $n$

as a sum of positive integers,

$$

n = a_1 + a_2 + \cdots + a_k,

$$

with $k$ an

arbitrary positive integer and $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k \le a_1 + 1$?

For example, with $n=4$ there are four ways: 4, 2+2, 1+1+2, 1+1+1+1.

令 $n$ 为固定正整数。 $n$ 有多少种写法

作为正整数之和，

$$

n = a_1 + a_2 + \cdots + a_k,

$$

与 $k$ 一个

任意正整数和 $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k \le a_1 + 1$?

例如，$n=4$ 有四种方法：4、2+2、1+1+2、1+1+1+1。