题面 Putnam · 2003 · P7
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2003.pdf。
Do there exist polynomials such that
$$
1 + x y + x^2 y^2 = a(x) c(y) + b(x) d(y)
$$
holds identically?
是否存在多项式 使得
$$
1 + x y + x^2 y^2 = a(x) c(y) + b(x) d(y)
$$
相同吗？
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2003 年 Putnam B1 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？