2003 Putnam B4

Let $f(z) = a z^4 + b z^3 + c z^2 + d z + e = a(z-r_1)(z-r_2)(z-r_3)(z-r_4)$

where $a,b,c,d,e$ are integers, $a \ne 0$. Show that if $r_1 + r_2$ is a

rational number and $r_1 + r_2 \ne r_3 + r_4$, then $r_1 r_2$ is a

rational number.

令 $f(z) = a z^4 + b z^3 + c z^2 + d z + e = a(z-r_1)(z-r_2)(z-r_3)(z-r_4)$

其中 $a,b,c,d,e$ 是整数，$a \ne 0$。证明如果 $r_1 + r_2$ 是

有理数和 $r_1 + r_2 \ne r_3 + r_4$，则 $r_1 r_2$ 是

有理数。