题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2006.pdf。
Alice and Bob play a game in which they take turns removing stones from
a heap that initially has stones. The number of stones removed at
each turn must be one less than a prime number. The winner is the player
who takes the last stone. Alice plays first. Prove that there are
infinitely many such that Bob has a winning strategy.
(For example, if , then Alice might take 6 leaving 11; then
Bob might take 1 leaving 10; then Alice can take the remaining stones
to win.)
爱丽丝和鲍勃玩一个游戏，他们轮流从石头上移走石头。
最初有 石头的堆。取出的石块数量
每圈必须比素数少一。胜利者是玩家
谁拿走了最后一块石头。爱丽丝先玩。证明有
无限多个 使得鲍勃有获胜策略。
(例如，如果 ，那么 Alice 可能会取 6 留下 11；然后
鲍勃可能拿 1 留下 10；那么爱丽丝就可以拿走剩下的石头
赢得胜利。)
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2006 年 Putnam A2 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？