2006 Putnam B4

Let $Z$ denote the set of points in $\mathbb{R}^n$ whose coordinates are 0

or 1. (Thus $Z$ has $2^n$ elements, which are the vertices of a unit

hypercube in $\mathbb{R}^n$.) Given a vector subspace $V$

of $\mathbb{R}^n$, let $Z(V)$

denote the number of members of $Z$ that lie in $V$. Let $k$ be given,

$0 \leq k \leq n$. Find the maximum, over all vector subspaces $V

\subseteq \mathbb{R}^n$of dimension$k$, of the number of points in

$V \cap Z$. [Editorial note: the proposers probably intended to write

$Z(V)$ instead of

``the number of points in $V \cap Z$'', but this changes nothing.]

设$Z$表示$\mathbb{R}^n$中坐标为0的点的集合

或 1。(因此 $Z$ 有 $2^n$ 个元素，它们是一个单元的顶点

$\mathbb{R}^n$ 中的超立方体。)给定向量子空间 $V$

的$\mathbb{R}^n$，令$Z(V)$

表示 $Z$ 中位于 $V$ 中的成员数量。给定$k$，

$0 \leq k \leq n$。求所有向量子空间 $V 的最大值

维度 $k$ 的 \subseteq \mathbb{R}^n$ 中的点数

$V \cap Z$。 [编者注：提案者可能打算写

$Z(V)$ 而不是

“$V \cap Z$ 中的点数”，但这没有任何改变。]