题面 Putnam · 2006 · P12
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2006.pdf。
Let be an integer greater than 1. Suppose , and define
$$
a_{n+1} = a_n + \frac{1}{\sqrt[k]{a_n}}
$$
for . Evaluate
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^{k+1}}{n^k}.
$$
令 为大于 1 的整数。假设 ，并定义
$$
a_{n+1} = a_n + \frac{1}{\sqrt[k]{a_n}}
$$
对于 。评价
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^{k+1}}{n^k}。
$$
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2006 年 Putnam B6 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？