题面 Putnam · 2007 · P1
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf。
Find all values of for which the curves $y = \alpha x^2 +
\alpha x + \frac{1}{24}x = \alpha y^2 + \alpha y + \frac{1}{24}$
are tangent to each other.
查找 的曲线 $y = \alpha x^2 + 的所有值
\alpha x + \frac{1}{24}x = \alpha y^2 + \alpha y + \frac{1}{24}$
彼此相切。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 Putnam A1 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？