题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf。
Let be a positive integer. Suppose that the integers $1, 2, 3,
\dots, 3k+1$ are written down in random order. What is the probability
that at no time during this process, the sum of the integers that have
been written up to that time is a positive integer divisible by 3? Your
answer should be in closed form, but may include factorials.
令 为正整数。假设整数 $1, 2, 3,
\dots, 3k+1$ 以随机顺序写下。概率是多少
在此过程中任何时候，具有的整数之和
到现在为止已经写过一个正整数可以被3整除吗？你的
答案应该是封闭形式，但可以包括阶乘。
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 Putnam A3 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？