题面 Putnam · 2007 · P12
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题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2007.pdf。
For each positive integer , let be the number of ways to
make cents using an unordered collection of coins, each worth
cents for some , . Prove that for some constant ,
independent of ,
$$
n^{n^2/2 - Cn} e^{-n^2/4} \leq f(n) \leq n^{n^2/2 + Cn}e^{-n^2/4}.
$$
对于每个正整数 ，令 为
使用无序的硬币集合赚取 美分，每个硬币价值
一些 的美分，。证明对于一些恒定的 ，
独立于，
$$
n^{n^2/2 - Cn} e^{-n^2/4} \leq f(n) \leq n^{n^2/2 + Cn}e^{-n^2/4}。
$$
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 Putnam B6 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？