题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2008.pdf。
Alan and Barbara play a game in which they take turns filling entries of
an initially empty array. Alan plays first. At each
turn, a player chooses a real number and places it in a vacant entry.
The game ends when all the entries are filled. Alan wins if the
determinant of the resulting matrix is nonzero; Barbara wins if it is zero.
Which player has a winning strategy?
艾伦和芭芭拉玩一个游戏，他们轮流填写以下条目
最初为空的 数组。艾伦先上场。在每个
回合中，玩家选择一个实数并将其放入空条目中。
当所有条目都被填满时，游戏结束。艾伦获胜，如果
所得矩阵的行列式不为零；如果为零，芭芭拉获胜。
哪位玩家有获胜策略？
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2008 年 Putnam A2 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？