2008 Putnam B4

Let $p$ be a prime number. Let $h(x)$ be a polynomial with integer coefficients

such that $h(0), h(1), \dots, h(p^2-1)$ are distinct modulo $p^2$.

Show that $h(0), h(1), \dots, h(p^3-1)$ are distinct modulo $p^3$.

令 $p$ 为素数。令 $h(x)$ 为具有整数系数的多项式

这样 $h(0), h(1), \dots, h(p^2-1)$ 与 $p^2$ 的模不同。

证明 $h(0), h(1), \dots, h(p^3-1)$ 与 $p^3$ 的模不同。