题面 Putnam · 2009 · P7
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2009.pdf。
Show that every positive rational number can be written as a quotient of products of factorials
of (not necessarily distinct) primes. For example,
$$
\frac{10}{9} = \frac{2!\cdot 5!}{3!\cdot 3! \cdot 3!}.
$$
\,
证明每个正有理数都可以写成阶乘乘积的商
(不一定是不同的)素数。例如，
$$
\frac{10}{9} = \frac{2!\cdot 5!}{3!\cdot 3! \cdot 3!}。
$$
\,
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2009 年 Putnam B1 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？